\documentclass[a4paper,11pt,swedish]{article}

\usepackage{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{parskip}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{color}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}
\section{Optimala aktieportföljer}
Vid beräkning av optimala aktieportföljer används matriser en hel del, därför beskrivs de viktigaste operationena som görs på matriser nedan

\subsection{Multiplikation av matriser}
Om $A$ och $B$ är matriser skrivs då multiplikationen av dessa som $AB$. Viktigt att notera är att operationen i större delen av fallen ej är kommutativ, 
det vill säga $AB \not= BA$. För att matrismultiplikationen ska vara definierad så om A är en $m\times n$ matris måste $B$ vara en $n\times k$ matris. 
Den resulterande matrisen kommer då vara av storlek $m\times k$. Följande sammband gäller mellan varje element i den nya matris som bildas och elementen 
i matriserna $A$ och $B$ vid multiplikation av dessa: $(AB)_{i j} = \sum_{r=1}^n A_{i r}B_{r j}$

\noindent Exempel:
\begin{align*}
&A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{pmatrix}\\
&B=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}\\
&AB=
\begin{pmatrix}
1*2+2*5 & 1*2+2*6 & 1*3+2*7 & 1*4+2*8 \\
3*1+4*5 & 3*2+4*6 & 3*3+4*7 & 3*4+4*8 \\
5*1+6*5 & 5*2+6*6 & 5*3+6*7 & 5*4+6*8 \end{pmatrix}
\end{align*}

\subsection{Transponat}
Om $A$ är en matris betecknas $A$-transponat som $A^T$ och operationen innebär att det som är rader i $A$ blir kolumner och
det som var kolumner blir rader. Följande samband gäller mellan $A$ och $A^T$: $A^T_{i j} = A_{j i}$

\noindent Exempel:
\begin{gather*}
A^T=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{pmatrix}^T=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 \\
2 & 4 & 6 \end{pmatrix}
\end{gather*}

\subsection{Identitetsmatrisen}
Identitetsmatrisen är en speciell matris där diagonalen består av ettor och alla andra element är noll. Speciellt har identitetsmatrisen den egenskapen att $AI=IA=A$.
\begin{gather*}
I=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots\,{} & 0 \\
0 & 1 & \cdots\,{} & 0 \\
\vdots\,{} & \vdots\,{} & \ddots\,{} & \vdots\,{} \\
0 & 0 & \cdots\,{} & 1 \end{pmatrix}
\end{gather*}

\subsection{Inversmatris}
Den inversa matrisen av $A$ betecknas $A^{-1}$ och är definierad så att $AA^{-1}=I$.

\subsection{Norm}
Om $A$ är en matris av storleken $m\times n$ betecknas normen av den som $\left| \left| A \right| \right| $ och operationen är definierad som
\[ \left| \left| A \right| \right| = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij}^2} \]vilket innebär att kvadraterna av alla element i matrisen summeras
och därefter tas kvadrateroten av denna summa.

\noindent Exempel:
\begin{align*}
&A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\\
&\left| \left| A \right| \right| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2}
\end{align*}

\subsection{Definitioner}
Här ett antal viktiga variabler som kommer att användas i uträkningarna senare.\\
$S_{it},\ t=0,\hdots,T$ är aktiekursen för aktie $i$ från dag $0$ till dag $T$ vilket vanligen sätts till den nuvarande dagen.\\
$r_{it}=\ln(S_{it}/S_{it-1}),\ t=1,\hdots,T$ är avkastningen för aktien under samma tidsperiod som ovan, med skillnaden att den
börjar på dag 1 eftersom för att kunna beräkna avkastningen behövs aktiens värde för två på varandra följande dagar.
Avkastningen beräknas på en logaritmisk skala.\\
$\mu=\frac{1}{T\tau}\sum_{t=1}^T r_{it}$\ är aktiens väntvärde, vilket i detta fall motsvarar den genomsnittliga logaritmiska avkastningen
som aktien historisk sett haft per år. Värdet erhålls igenom att avkastningarna för hela tidsperioden summeras varefter summan divideras med antalet dagar.
Slutligen divideras det erhållna värdet med $\tau$ där $\tau=1/250$, vilket motsvarar hur stor del av börsdagarna på ett år som en börsdag är.

En matris $\mu$ innehållandes väntevärdena för samtliga aktier i portföljen införs också.
\begin{gather*}
\mu=
\begin{pmatrix}
\mu_1 \\
\vdots\,{} \\
\mu_N \end{pmatrix}
\end{gather*}

Vidare definieras $\sigma_{ij}$ som
\[ \sigma_{ij}=\frac{1}{(T-1)\tau}\sum_{t=1}^T (r_{it}-\mu_i\tau)(r_{it}-\mu_j) \]
där $\sigma_{ij}$ är kovariansen mellan två olika aktier, det vill säga hur två olika aktier samverkar med varandra i avseende på den totala variansen. Mer speciellt för $\sigma_{ii}$ gäller att detta ofta skrivs som $\sigma_i^2$ och det representerar då den enskilda aktiens varians. För att representera risken för en aktie används oftast $\sigma_i=\sigma_i^2$ vilket är standardavvikelsen, eller voltaliteten för aktien.

Utifrån $\sigma_{ij}$ för samtliga aktioer definieras definieras kovariansmatrisen. 
\begin{align*}
C=
\begin{pmatrix}
\sigma_{11} & \cdots\,{} & \sigma_{1j} & \cdots\,{} & \sigma_{1N} \\
\vdots\,{} & \ddots\,{} & \vdots\,{} &  & \vdots\,{} \\
\sigma_{i1} & \cdots\,{} & \sigma_{ij} & \cdots\,{} & \sigma_{iN} \\
\vdots\,{} &  & \vdots\,{} & \ddots\,{} & \vdots\,{} \\
\sigma_{N1} & \cdots\,{} & \sigma_{Nj} & \cdots\,{} & \sigma_{NN} \end{pmatrix}
\end{align*}

$w_i$ är den andel av det som investerats i aktieportföljen som har investerats i aktie $i$ samt och $w$ definierad till den matris innehållande $w_i$ för samtliga aktier i portföljen.
\begin{gather*}
w=
\begin{pmatrix}
w_1 \\
\vdots\,{} \\
w_N \end{pmatrix}
\end{gather*}

Slutligen finns också matrisen $\textbf{1}$ vilket är en $N\times 1$ matris innehållandes endast ettor.
\begin{gather*}
\textbf{1}=
\begin{pmatrix}
1 \\
\vdots\,{} \\
1 \end{pmatrix}
\end{gather*}

\subsection{Beräkningar}
Utifrån en aktieportfölj finns det olika sätt att optimera denna på, de som kommer att tas upp här är minimal risk samt maximal tillväxt. Oberoende av vilken
av dessa optimeringar som ska göras måste ekvationen $\textbf{1}^Tw=1$ gälla där eftersom summan av de andelar som investerats måste vara ett.

\subsubsection{Minimal risk}
För att göra risken i aktieportföljen så lite som möjligt ska fördelningen mellan de ingående aktierna väljas på ett sådant sätt att deras kovarianser tar ut
varandra och på så sätt ger en aktieportfölj vars totala varians är minimerad vilket därmed ger en risk som är så liten som möjligt. För att få fram den fördelning
av investeringarna som åstadkommer den aktieportföljen är det problemet $\min w^TCw \hbox{ då } \textbf{1}^Tw=1$ som behöver lösas. Optimallösningen på detta problem
är
\[ w_r=\frac{C^{-1}\textbf{1}}{\left| \left| C^{-1}\textbf{1} \right| \right|} \]

\subsubsection{Maximal tillväxt}
För att istället maximera aktieportföljens tillväxt är det
\[ \max \mu^Tw-\frac{1}{2}w^TCw \hbox { då } \textbf{1}^Tw=1 \]
som behöver lösas. Ekvationen innebär att det värde som ska maximeras är halva aktieportföljens varians $w^Tcw$ subtraherat ifrån den förväntade avkastningen $\mu^Tw$.
Optimallösningen för detta problem är som följer
\[ w_T=\left( \mu - \frac{\textbf{1}^TC^{-1}\mu-1}{\textbf{1}^TC^{-1}\textbf{1}}\textbf{1} \right) \]

\subsection{Effektiva fronten}
Utifrån de optimala aktieportföljerna för minimal risk och maximal tillväxt går det att ta fram den så kallade effektiva fronten igenom att göra en linjär kombination
av de två olika optimala portföljerna. De portföljer som ligger på den effektiva fronten är speciella på så sätt att de för varje möjligt värde på tillväxten har den
minsta möjliga risken. För att beskriva de portföljer som ligger på den effektiva fronten används ekvationen
\[ w_E=\lambda w_T+(1-\lambda)W_R,\lambda \in \Re \]
vilket innebär att för värden på $\lambda$ nära ett blir den resulterande aktieportföljen $w_E$ en aktieportfölj med låg risk medans för värden på $\lambda$ nära noll
blir det istället en aktieportfölj med stor tillväxt.

\textcolor{red}{Jag är fortfaradne lite osäker på exakt vad det är som händer för $\lambda<0 \hbox{ eller } \lambda>1$ Angående representation för den effektiva fronten tror
jag det kan ha nått att göra med förållande mellan risk och avkastning.}
\end{document}