\documentclass[a4paper, 11pt, swedish]{article}
%\documentclass[a4paper, 11pt, swedish, titlepage]{article}

\usepackage{babel}              % svensk typgrafi
\usepackage[latin1]{inputenc}   % ISO 8859-1
\usepackage{amsmath}            % för flashigare formler
\usepackage{parskip}            % mellanrum mellan stycken
%\usepackage{a4wide}             % smalare marginaler
\usepackage{hyperref}           % för hyperlänkar i PDF

% Med vanlig font encoding sätts svenska tecken ihop av andra tecken,
% vilket gör att LaTeX inte kan radbryta ord där de förekommer; därför
% anger vi T1 istället. Se till att någon Type1-variant av Computer
% Modern används (inte en bitmapversion) annars ser PDF:en ut som
% bice. Kör med fördel pdflatex.
\usepackage[T1]{fontenc}

\title{Räkna med pengar\\ {\Large Beskrivning av matematik och Excel-layout}}
\author{
Johan Spann \and
Donovan Söderlund \and
André Teintang \and
Lowe Thiderman \and
Oscar Tholander \and
Joakim Tosteberg \and
Henrik Tunedal
}
\date{2007-10-06}

\begin{document}

\maketitle                      % skapa titelsidan

% Innehållsförteckning -- tänk på attt LaTeX måste köras flera gånger
% för att sidhänvisningarna ska bli korrekta!
\tableofcontents                % skapa innehållsförteckning
\clearpage                      % sidbrytning

\section{Inledning}

Rapporten innehåller förklaringar på matematiska begrep inom hedging,
riskhantering och optimala portföljer. En teknisk rapport om hur
Excel-filen \texttt{portfolioManagerRaknaMedPengarV2.xls} fungerar, samt en
layout på Excel-dokumentet.

\section{Riskhantering}

Value at Risk (VaR) är ett matematiskt sätt att beskriva hur stor
risken är att man förlorar en viss summa i en portfölj. Eller, med
andra ord, så är det sannolikheten att man förlorar en viss summa över
en viss tid.

Till exempel: Du har en portfölj (alltså en samling med aktier). Du vet var
den har för värde idag, men du vet inte vad den kan ha för värde
imorgon. Banken kan rapportera att din portfölj har en endagars-VaR på
en miljon kronor med en säkerhetsnivå på 95 \%. Med andra ord så är
det 95 \% chans att värdet på portföljen inte minskar med en miljon
kronor under en dag; och det är samma sak som att det är 5 \% risk att
värdet minskar med en miljon kronor eller mer under en dag. Viktigt att notera
är att om VaR-värdet är på en miljon kronor så är en miljon kronor
maxvärdet man kan förlora med säkerhetsnivån 95 \%.

Fördelar:
\begin{itemize}
\item Olika former av risk kan sammanvägas till ett gemensamt VaR-värde.
\item VaR är ett lättförståeligt mått som personer utan kunskaper i finansiell
riskhantering kan förstå.
\end{itemize}

Nackdelar:
\begin{itemize}
\item VaR-värdet beräknar inte den maximalt möjliga förlusten.
\item VaR-värdet säger ingenting om fördelningens utseende, eftersom
  värdet endast utgår ifrån kvantilen.
\item VaR-värden är inte additiva.
\end{itemize}

Man kan då räkna på detta genom formeln:

\begin{displaymath}
VaR = W \sigma \rho \sqrt{T}
\end{displaymath}

$\sigma$ = Standardavvikelsen / Volatilitet (Som beräknas genom att man
tar kvadratroten ur variansen)\\
$T$ = Tiden uttryckt i år \\
$W$ = Portföljens värde \\
$\rho$ = Skalningsfaktor som beror på sanningsvärdet

\subsection{Exempel}

I detta exempel så är volatiliteten (beräknad genom standardavvikelsen) 
av ett stort antal TeliaSonera-aktier sedan början av september.

$\sigma$ = 0,28994563 \\
$T$ = 0,25 år \\
$W$ = (10 st aktier som har värdet 100 = 1000 kr) \\
$\rho$ = 95.5 \%

 = 207673.56

Om vi tar samma värde på alla variablerna förutom T som vi ändrar till
1 dag (1/365) så får vi:

= 2174.0261

\section{Optimala portföljer}

Detta inte så lite komplicerade avsnitt \TeX{}:as av vår tekniska
expert på optimala portföljer.

\section{Hedging}

Om man har en portfölj med aktier kan man vilja minska risken i
aktieägandet. Detta kan man göra genom optioner. Det finns köpoptioner
(calls) och säljoptioner (puts), d.v.s. rätten att köpa respektive
sälja en viss aktie för ett visst pris vid en viss tidpunkt.

Priset på europeiska optioner kan beräknas med hjälp av formler
framtagna på 1970-talet av Fischer Black och Myron Scholes. Deras
teorier gör ett antal antaganden, exempelvis att transaktioner inte är
belagda med några skatter eller transaktionsavgifter samt att det inte
förekommer någon utdelning. Förutsättningarna är sällan helt
uppfyllda, men man kan ändå använda ekvationerna och få ett någorlunda
verklighetsnära och användbart resultat.

För att beräkna värdet på en option behövs optionens lösenpris och
tiden kvar till lösendagen, den underliggande aktiens volatilitet och
nuvarande värde samt hur mycket den nuvarande riskfria låneräntan
ligger på.

Vi vill, för att få reda på risken i att äga optionen, beräkna hur
optionens pris förändras när den underliggande aktiekursen förändras.
Detta värde kallas delta.

Delta för en köpoption kan beräknas som: $N(d)$, där
$N$ är den kumulativa sannolikhetsfördelningen för en normalfördelad variabel,

\begin{displaymath}
N(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\frac{y^2}{2}}
\end{displaymath}

och

\begin{displaymath}
d = \dfrac{\ln\left( {\dfrac{S}{K}} \right) +
    \left(r + \dfrac{\sigma^2}{2} \right)T}{\sigma \sqrt{T}}
\end{displaymath}

där\\
$S$ är dagens aktiekurs,\\
$K$ är lösenpriset,\\
$r$ är den riskfria räntan,\\
$T$ är tiden kvar till lösendagen (uttryckt i år) och\\
$\sigma$ är volatiliteten.

Delta för en säljoption ges av $N(d) - 1$.

Räntan $r$ är den kontinuerliga riskfria räntan, d.v.s. den ränta man
för tillfället kan få genom att låna ut pengar helt utan risk. Där kan
vi kanske använda aktuella värden för statsskuldsväxlar, som man kan
hitta hos Riksgäldskontoret. För närvarande är den cirka 3,6 \% (för
en löptid på 3 månader).

Det vi ska beräkna är portföljens totala delta, $\Delta_{tot}$,
utifrån en uppsättning optionspositioner.

Om en optionsposition är ett innehav av en köp- eller säljoption, och
portföljen är en mängd sådana optionspositioner med samma
underliggande aktie, kan det totala deltavärdet beräknas genom att
addera deltavärdena för de enskilda optionspositionerna. För en sådan
portfölj är värdet alltså delta för köpoptioner minus delta för
säljoptioner. Om vi även har ett innehav i den underliggande aktien
kan vi addera antalet sådana aktier. Det vill säga:

\begin{displaymath}
\Delta_{tot} = n_1 \Delta_1 + n_2 \Delta_2 + n_3
\end{displaymath}

där $n_1$ är antalet köpoptioner, $n_2$ antalet säljoptioner och $n_3$
antalet aktier. $\Delta_1$ och $\Delta_2$ är köp- respektive
säljoptionernas delta.

$\Delta_{tot}$, sålunda beräknat, ger oss alltså det belopp med
vilket värdet på vår portfölj kommer att öka för varje krona som den
underliggande aktiens värde ökar.

\section{\texttt{portfolioManagerRaknaMedPengarV2.xls}}

\subsection{Settings}

Det första bladet i dokumentet är ett konfiurationsblad. I det matar
man i data som kan behandlas i resten av dokumentet.

\begin{itemize}
\item Kolumn 1 och 2 -- Shares \\
  I kolumn 1 matar man in namn på aktier som man har i sin portfölj,
  och i kolumn två så matar man in vilket typ de är av. Giltiga
  typer är Equity och Option. Equity i det fallet definierar ungefär
  aktie på svenska.
\item Kolumn 3 -- Real Time Data \\
  Kolumn i vilken man matar in vilka typer av värden som man vill att
  dokumentet skall hämta ifrån Reuters.
\item Kolumn 4 -- Security Instruments Data \\
  Kolumn i vilken man matar in vilka verktyg som man vill att Reuters
  ska mata in i Excel-makrot.
\end{itemize}

\subsection{Transactions}

Det andra bladet i dokumentet visar de senaste transaktionerna, alltså
affärer och andra ekonomiska förhandlingar. Om värdet som ska visar i
kolumnen behandlar en aktie och transaktionen inte behandlat en aktie
så visas inget värde.

\begin{itemize}
\item Kolumn 2 -- Description \\
  Beskriver vilken form en händelse som har skett. Möjliga värden är
  Deposit, Buy eller Sell.
\item Kolumn 3 -- Asset
Visar vilken aktie förhandlingen gäller.
\item Kolumn 4 -- Assets type \\
Visar vilken typ (Equity eller Option) som förhandlas är utav.
\item Kolumn 5 -- Number \\
Visar Antalet aktier i förhandlingen.
\item Kolumn 6 -- Cash \\
  Visar förändringen i kapitalet. Positivt varde tyder på inkomst,
  negativt värde tyder på utgift.
\end{itemize}

\subsection{Portföljerna}

Det tredje bladet i dokumentet visar en värdetabell innehållande de
aktier och datatyper som man har fördefinierat från det första bladet.

% Asterisken gör att det inte kommer med i innehållsförteckningen.
\subsubsection*{\texttt{IDN\_SELECTFEED}}
Funktion som dokumentet är beroende av. Den går inte ta bort och den
går inte att dölja.

\subsubsection*{Värdetabellen}
Tabell som i alltid hämtar givna värden direkt ifrån Reuters 3000
Xtra. Fälten Cash och Assets är redan förklarade. Den andra kolumnen
visar värdet för Holding. Dvs. hur många av nämnda aktier portföljen
innehåller. Den tredje kolumnen visar värdet för LAST, vilket är det
senaste givna värdet för en aktie.

För att lägga till vilka aktier man har i sin portfölj kan man dels
lägga till den på denna sida eller som tidigare nämnt definiera dem på
konfigurationsbladet. Aktier definierade ifrån konfigurationsbladet
kommer att hamna under som är definierade i portföljen.

\subsubsection*{Update portfolio}
Knapp som uppdaterar alla värden i värdetabellen som läser in nya
aktier ifall det finns nya definierade i Shares-kolumnen på
konfigurationsbladet.

\subsection{Asset History}

Det fjärde bladet är ett historikblad som visar Close-värden från ett
stort antal datum. Close-värdet är ett värde som den givna aktien
ligger på när börsen stänger. De givna aktierna är de som är
definierade i portföljen och konfiguartionsbladet.

\section{Excel-layout}

Se bifogat Excel-dokument.

\end{document}
